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avec GEOGEBRA / les abaques à points alignés

J'avais terminé le travail sur la construction des abaques à points alignés ( aapa) avec CABRI.

J'espère avoir convaincu que ces outils n'étaient pas obsolètes, surtout à l'époque des ordinateurs, et que cela pouvait révolutionner

l'enseignement des sciences si ces abaques étaient manipulés et fabriqués très tôt.

Mais je sais qu'il y a d'emblée un certain scepticisme à vaincre. Cela paraît trop beau pour être vrai !!!

Certains collègues ou correspondants n'ayant pas CABRI, je vais tenter (à leur demande) de faire le même travail avec GEOGEBRA qui

est gratuit (élément non négligeable ) et assez couramment utilisé.

Il est moins intuitif à mon avis que CABRI, mais a d'autres atouts.

La lecture des abaques peut de la même façon être faite par un élève de 4ème.

La fabrication des abaques, les macros étant données, peut être assurée par un élève de Seconde plutôt, et non plus de 3ème.

La fabrication des macros serait plutôt promise au niveau première.

La démonstration de la pertinence des structures géométriques relève de la terminale, bien que certaines soient abordables dès la

2ème.

Ces remarques sont valables pour tout adulte qui aurait besoin de manipuler des formules du technique ou de n'importe quelle

discipline, pour lui-même ou pour les enseigner à d'autres, en formation initiale ou continue, ou en remise à niveau ou réinsertion.

J'ai classé cette partie dans "démocratiser l'utilisation des mathématiques (avec GEOGEBRA)" après" démocratiser l'utilisation des mathématiques (avec CABRI)"


les aapa avec GEOGEBRA





merci internet et mr Chasles: distance point-ellipse

Il y a quelques jours, en reprenant l'article "penser à côté" de la catégorie " courtes promenades mathématiques", je proposais de définir et

de calculer la distance d'un point à une ellipse, avec un logiciel de géométrie, en évitant si possible l'utilisation  expliclite des équations

de façon à faire manipuler cette notion intuitivement par un élève de collège.En fait, il s'agissait surtout d'un travail à faire par l'enseignant

pour se déstabiliser un peu avant de préparer son cours sur les distances courantes en 5ème ou 4ème.

voir :

Penser à côté ( éloge de l'imprudence)

distance-pt-ellipse-1.jpg

Je sais que la distance sera définie comme le minimum de la longueur des segments joignant P à

l'ellipse.

Première idée: faire mesurer les distances pm par le logiciel et prendre le minimum, donc repérer m

sur la courbe par une abscisse et placer en ordonnée la distance pm.

Le lieu donnera une courbe dont on prendra le minimum.

Le malheur,c'est que je ne sais par repérer directement un point sur l'ellipse.

je garde l'idée, mais je vais partir du fait que l'ellipse est la transformée du cercle principal de

l'elllipse par une affinité dont l'axe est le grand axe de l'ellipse et le rapport b/a, b et a étant

respectivement le petit axe et le grand axe de l'ellipse.

Il me suffira donc

  • d'ouvrir le repère
  • de demander au logiciel la longueur L du cercle et de reporter ce nombre sur l'axe des x ( choisir un cercle pas trop grand au début: on l'agrandira sans problème ensuite)
  • de tracer le segment [0L]
  • de choisir un point m0 entre 0 et L ( longueur du cercle),et de demander son abscisse x
  •  de reporter ce nombre x sur le cercle à partir d'un point du cercle choisi comme origine, ce qui me donnera un point m1
  •  de construire l'image de m1 par l'affinité adéquate, ce qui donne un point m
  • de mesurer la distance Pm
  • de place le point de coordonnées (x;Pm) dans le repère canonique du logiciel ce qui donne un point n
  • de demander le lieu de n quand x varie
  • Ensuite, on cherche le minimum absolu de la courbe ( il peut y avoir 3 minima relatifs en plus)
  • L'ordonnée de ce minimum absolu est la distance de P à l'ellipse.

Mais les logiciels donnent en général une conique avec 5 points

J'ai donc besoin de savoir trouver les axes d'une ellipse et de faire une macro commode pour d'autres travaux.

  • On commence par apprendre à trouver le centre.

Par deux des 5 points c et d, on trace une corde. Par un 3ème, e, on trace une corde parallèle. Les milieux des deux cordes parallèles donnent un diamètre. On recommence avec une autre corde ce par exemple, ce qui donne un second diamètre et l'intersection des deux diamètres donne le centre O de l'ellipse. On fait une macro dite "ellipse, centre" avec comme objets initiaux l'ellipse et le point P, l'objet final étant O.

centre-d-une-ellipse-construction.jpg

  • reste à tracer les axes : une méthode consiste à utiliser les demi-diamètres conjugués.
  • Rappelons qu'étant donné un diamètre, l'ensemble des milieux des cordes parallèles à ce diamètre forment un second diamètre qui est dit "conjugué du premier".(en fait,ce sont les images de 2 diamètres perpendiculaires du cercle principal)
  • On trace donc une ellipse à partir de 5 points. On trace son centre O avec la macro précédente.
  • On choisit un point quelconque m sur cette ellipse ( différent bien sûr des 5 points).On trace la demi-droite diamètre [om).Par un des 5 points de définition de l'ellipse, on trace une corde parallèle à [om) et on prend son milieu n. La droite (on) est le diamètre conjugué du diamètre (om).
  • On fait une macro "diamètre conjugué associé à m" avec comme objets initiaux l'ellipse et le point m, et comme objet finaux la droite (on).

diametre-conjugue.jpg

  • La théorie (qui définit l'ellipse comme le lieu d'un point fixe d'un segment de droite HK de longueur constante dont les extrémités décrivent deux axes rectangulaires) nous dit qu'en reportant à partir de m sur la perpendiculaire au rayon conjugué de (om) un segment égal à ce rayon conjugué, on obtient le point diamétralement opposé à O sur le cercle. Donc
  1. sur un ellipse munie d'un point m on construit le diamètre conjugué associé à m, et  on trace un des deux rayons conjugués associés à m, soit [op].
  2. On trace la perpendiculaire par m à ce conjugué
  3. On trace avec le compas le cercle de centre m et de rayon op
  4. il coupe la perpendiculaire en I par exemple
  5. on prend le milieu de o et I, soit w
  6. On trace le cercle de centre w passant par o.Il coupe la droite (wm) en h et k
  7. On trace les droites (oh) et (ok) : ce sont les axes de l'ellipse

On fait alors une macro "axes d'une ellipse", avec comme objet initial l'ellipse et comme objets finaux les deux axes.

axes-d-une-ellipse-construction.jpg

maintenant que j'ai cette macro, je vais pouvoir tracer le cercle principal ( son diamètre est le grand axe).

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Se préparer à préparer son cours

SE PREPARER A PREPARER SON COURS

Comprendre ce que ne comprendra pas l'élève réel, deviner ce qui le bloquera:

voilà ce qui conditionne toute activité pédagogique efficace.

Mais puisqu'il s'agit de l'élève réel, les éléments théoriques que donnent

la didactique ou la pédagogie seront souvent insuffisant sur le moment:

il faudra être capable de réagir aux multiples formes que prendront

les incompréhensions ou les rejets.

Pour cela, il faut se mettre à l'avance en situation.

Souvent, pour une notion A, la racine des difficultés des élèves peut être

mise à jour en se mettant soi-même en difficulté ( relative bien sûr ! ?).

Il faut donc reprendre la notion A en court-circuitant notre savoir sur A.

Un bon moyen est d'utiliser le délire raisonné, un peu comme le recommandait Riemann

pour la recherche sous l'expression " penser à côté...."

J'ai donc repris à la demande d'un jeune collègue quelques pages de ce site

écrites il y a quelques années pour l'irem.

Chaque collègue a ses outils pour quelques notions.

Ils en feront profiter ailleurs, sous des formes différentes et dans des lieux divers.

Le rassemblement de ces techniques donnerait sûrement

un très utile "surcommentaire" des programmes.

voir donc

ici

RICHESSE DU NON-DIT


Richesse du non-dit

( à propos de "les nouveaux amours de l'équerre et du compas" )

 

J’ai toujours regretté, lorsque j’enseignais, la directivité des programmes et de leurs commentaires, même quand ils la nient.( c'est aussi un problème de démocratie : mais c'est encore à venir)

Elle se traduit en général implicitement par trois choses :

  • l’absence de justification publique de la suppression de notions
  • l’absence de justification publique de l’ajout de notions
  • l’absence de référence à « l’inconscient d’un programme », c'est-à-dire aux manipulations que telle notion (étudiée l’année n) suppose faites les années antérieures ( n-1, n-2, n-3, n-4 ….)

Par exemple si j’enseigne la translation en 4ème,  quelles manipulations préparent ce travail en 5ème, 6ème et même à l’école primaire ?

Si en 4ème j’introduis l’étude des ouverts et des fermés, le CM2 et la 6ème auraient dû être les années où les problèmes de répartition d’arbres séparés de 10 m dans une allée de 50m ont marqué les élèves.

La trigonométrie de seconde ou de première suppose des manipulations quelques années avant sur le cadran circulaire des montres et des horloges ( méfions-nous des « générations quartz » !)

Les propriétés numériques des  logarithmes de terminale se construisent sur des manipulations de 4ème et 3ème sur les exposants…

La distinction entre « étude d’une notion » et « manipulation de cette notion » est nécessaire car on peut ( et on doit), manipuler une notion avant de l’avoir étudiée, et même souvent, de l’avoir « nommée ».

L’idéal est d’avoir pris du plaisir, de l’émotion, à la manipuler : cela crée des conditions psychologiques non négligeables en général, préalables à la mise en branle de la raison et de l’étude.

Par exemple, il est bien regrettable que les problèmes de lieu géométrique aient disparu et restent disparus, des programmes de 5ème et de 4ème alors qu’ils sont à la base des intuitions géométriques dont les élèves ont besoin dans le second cycle (et il est trop tard à ce moment là parce que ces intuitions progressent dans le premier cycle en même temps que les notions géométriques (exemple la médiatrice et le lieu des  points équidistants)

 

Si par exemple je m’intéresse à l’étude de l’algorithmique en seconde, et à son contenu, il est clair qu’un autre disparu de l’enseignement du premier cycle devrait être à la base des manipulations préparatoires : ce sont les constructions à la règle et au compas.

Elles illustreraient très tôt le « divin enchaînement des effets et des causes » cher à J.L.Borgès.

 

Je voudrais ici plaider pour des manipulations qui aideraient très tôt à alimenter dès la 5ème ou la 4ème l’inconscient de l’enseignement de l’algorithmique : les macros des logiciels de géométrie élémentaire, comme décomposition ou composition de programmes ou sous programmes.

Le logiciel utilisé est Cabri, parce qu’il est le plus intuitif, mais on peut l’adapter avec les autres.

En utilisant comme usine à fantasmes, les courbes géométriques, on amène l’élève à manipuler des sous-programmes, ou en tout cas, à les utiliser pour obtenir de belles et utiles choses.

On lui donne le texte de la construction.

Il n’a pas besoin en premier cycle de comprendre pourquoi ça marche, même si on peut lui signaler que les textes ne sont que les traductions d’équations en coordonnées polaires ou cartésienne, ou cartéso-polaires.

Mais pour que cela le marque, il faut qu’il s’amuse avec la courbe, suivant une série de manipulations que j’indique dans les 5 premières pages au début. Il suit d’abord le texte, obtient la courbe, fait la macro et délire graphiquement .

Il faut aussi qu’il en fasse plusieurs, sinon l’objectif sera raté.

Il pourra essayer lui-même de modifier des éléments du texte et s’apercevoir qu’il y a des données indispensables et d’autres non nécessaires pour faire la macro.

J’insiste : l’important est moins la construction que la macro.

J’ai essayé avec des enfants du CM1 à la terminale : enthousiasme garanti !!!

NB "ce travail remplace celui intitulé "amusons nous avec les courbes" : il est plus complet et plus sûr.

voir donc "les nouveaux amours de la règle et du compas"

la démonstration, amplificateur de plaisir ?

Dans le billet précédent, je signalai qu'on peut utiliser en classe ou non, des outils géométriques pour mieux goûter les peintures.

th-du-papillon.jpg

 Il y a là quelque similitude avec la situation dans l’apprentissage des mathématiques.

Voici un exemple trouvé dans le livre de David Ruelle.

Il s’agit du théorème classique  dit « du papillon ».

On trace un cercle par exemple dans cabri.

On prend une corde AB et son milieu M. On trace par M deux cordes quelconques PQ et RS.

Les deux autres côtés du quadrilatère croisé SP et RQ recoupent la corde AB en U et V.

Alors les segments AB et UV ont le même milieu :M.

Le résultat est surprenant. En bougeant les points, on s’aperçoit que ça marche !

On se laisse rêver sur ce résultat : il est « beau » ! Ne jouons surtout pas les « blasés », c’est ce qui désintègre un cerveau.

Reste à savoir pourquoi, maintenant !

Utilisons le plan complexe d’Argand-Cauchy.

Quelle que soit l’origine choisie, on aura, en utilisant les notations de Grassmann ou confondant les notations du point et du nombre complexe associé :

 M-A = B-M ou encore M = (A+B)/2 pour traduire le fait que M est milieu de AB.

Pour traduire le fait que A,B,P,R sont sur un même cercle, il suffira d’écrire que le birapport [A,B ; P,R] est un nombre réel.

Ce birapport est par définition :

((P-A)/(R-A)) / ((P-B)/(R-B)) : il est invariant par l’homographique particulière 1/z. Et donc par la composée de cette homographique avec la symétrie par rapport à l’axe des réels , c'est-à-dire par l’inversion de puissance 1.

( z’ = 1/ conjugué de z)

Soit A’,B’,P’ R’ les images de A,B,P, R par cette inversion et on aura [ABPR] = [A’B’P’R’]

Si nous choisissons comme origine du plan le point S, alors A’,B’,P’,R’ seront alignés, comme SAA’, SBB’, SPP’ et SRR’.

Or la projection centrale (centre S) de la droite (A’B’) sur la droite (AB) conserve le birapport . Les images de A’B’P’R’ sont A,B,U,M. Donc on a :

[ABPR] = [ABUM].

De même, en prenant Q comme origine du plan, ou démontrerait que :

[ABPR] = [ABMV].

On en déduit : [ABUM] = [ABMV]

Ce qui s’écrit :

( (U-A)/(M-A) ) / ( (U-B)/(M-B) ) = ( (M-A)/(V-A) ) / ( (M-B)/(V-B) )

 

Or M-A = -(M-B) d’où

-(U-A)/(U-B)  = -(V-B)/(V-A)

(U-A)(V-A) = (U-B)(V-B)

 

Ou  UV-AV-UA+A² = UV-BV-UB+B²

Ou  BV+UB-AV-UA = (A+B)(B-A)

B(V+U)-A(V+U) = (A+B)(B-A)

(U+V)(B-A) = (A+B)(B-A)

U+V = A+B

(U+V)/2 = (A+B)/2

Donc le milieu de UV est le milieu de AB.

Joli, non ?

La démonstration de David Ruelle a doublé notre plaisir.

On pourrait continuer en se demandant comment est venue l’idée de passer par la géométrie projective : je vous laisse le plaisir d’y réfléchir : le cercle et le milieu ne sont pas forcément des notions euclidiennes.

la géométrie, amplificateur du plaisir en peinture

Toujours entre deux abaques de CALCULS SCIENTIFIQUES POUR TOUS les abaques à points alignés  , j'ai découvert deux  sites de peintures très riches qui peuvent aider à travailler la géométrie tout en gardant le plaisir de la peinture.

je dirai même que la géométrie, avec un logiciel de géométrie dynamique, par exemple "cabri", peut doubler le plaisir.

Je m'explique . Il s'agit des sites : http://fr.wahooart.com/ et http://www.googleartproject.com/fr/.

Vous choisisseez un tableau que vous enregistrez.

Vous commencez par ouvrir votre logiciel, un clic droit dans l'écran, et vous choisissez "image de fond", "depuis fichier".Le tableau apparait donc sur l'écran dans le logiciel.

On peut alors tracer les droites, cercles etc.... et étudier les régularités, alignements.examiner les rapports d'or,

Quand on a quelques outils pour analyser, même modestement, un tableau, on peut, une fois le plaisir pris de sa vue et de ses parcours, utiliser ces propriétés géométriques pour comprendre comment le peintre a construit son tableau, parfois explicitement, pour nous émouvoir et ainsi nous passons à un second stade d'émotion, et ainsi de suite parfois.

La première fois que j'ai fait cette expérience est ce jour où, à montpellier, en remontant la rue de l'aiguillerie, j'ai trouvé dans une librairie à prix réduit, le livre de charles Rouleau :"géométrie secète des peintres" . Il y indique les tracés directeurs dans une bonne centaine d'oeuvres.

Cela m'a changé la vision de la peinture, mais j'étais resté assez frustré car les reproductions étaient toutes en noir et blanc.

Avec internet, j'ai accès à ces oeuvres en couleurs!

Un problème demeure cependant:il est fastidieux souvent d'essayer de vérifier des régularités géométriques canoniques: on s'arrête au bout de 5 ou 6 essais.

Et voilà où intervient cabri.

On peut faire une série de macros canoniques qui, en exactement 3 clics de souris permettent de tracer les schémas directeurs que l'on veut essayer.Ensuite on fera un menu comportant une vingtaine de macros permettant les essais.

( on peut affiner en utilisant différents menus suivant qu'il s'agit d'un tableau de la renaissance, ou du moyen âge, ou du 19ème en Europe, ou d'autres cultures).

Voici un début de liste de macros utiles à faire.

1) Cadre rectangulaire. Deux points qui seront le sommet gauche-haut du cadre et le sommet bas-droite, et les axes que l'on tirera toujours dans le coin bas gauche de l'écran.On trace les parallèles aux axes, on trace le polygone et on place son centre que l'on épaissit.

objets initiaux : les 2 points et les axes

objets finaux: le polygone et le centre

validation: cadre rectangulaire

(donc, étant donné un tableau importé, on ouvrira la macro et on désignera les deux points et les axes)

2)Carré droit. Quand le cadre est construit,  on rabat la largeur avec un cercle sur la longueur et on trace le carré.

Il donnera une verticale souvent interessante. Pour la macro, on prendra toujours pour objet initiaux les deux sommets privilégiés et les axes, le seul objet final étant le carré ou, si on préfère la verticale intéressante.

3)Carré gauche.

4)Rabattement du rectangle. Il est formé du cadre et des deux carrrés précédents (construits sur les largeurs).

5) Le rectangle médian du bicarré. C'est le rectangle formé par les deux côtés intérieurs des carrés précédents.

(cette macro est souvent commode)

6) axes de symétrie du cadre : ce sont les axes de symétrie du rectangle (commode)

7)verticales d'or. On trace le cadre, on mesure la longueur, on multiplie ce nombre par 0.618 ( approximation de l'inverse du nombre d'or) et on reporte ce nombre sur la longueur en traçant la demi-droite adéquate. On trace le symétrique du point obtenu par rapport au centre. Des parallèles donnent les deux verticales d'or.

8)horizontales d'or.On trace le cadre, on mesure la largeur, on multiplie ce nombre par 0.618 ( approximation de l'inverse du nombre d'or) et on reporte ce nombre sur la largeur en traçant la demi-droite adéquate. On trace le symétrique du point obtenu par rapport au centre. Des parallèles donnent les deux horizontales d'or.

9)Points d'or.Ces 4 points sont les intersections des verticales d'or et des horizontales d'or.(Pour la macro, il vaut mieux ne garder en objet finaux que ces 4 points).

10) Rectangle d'or. On se donne deux points a et b qui détermineront la longueur. On la mesure et on multiplie le résultat par 0.618.On trace par a la perpendiculaire au segment ab sur laquelle on trace une demi-droite d'origine a. Sur cette demi-droite, on reporte le nombre trouvé.On termine le rectangle.

11) le losange du bicarré. Les diagonales des 2 carrés construits sur les largeurs déterminent un losange (carré) souvent utilisé par les peintres.On fera la macro de la même façon à partir des points (gauche haut et bas droit).


grilles-elementaires.jpg




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Plaisirs de lecture

Entre deux abaques à point alignés, je me ressource depuis quelques jours avec un livre


qui devrait se trouver dans toutes les bibliothèques d'iufm ou de lycée ou de collège, et


même en plusieurs exemplaires. C'est l'ouvrage de David Ruelle "L'étrange beauté des


mathématiques" chez Odile Jacob.


Travail d'un mathématicien qui, par ses remarques sur sa pratique 


de chercheur, donne à penser différemment de nombreuses pratiques et théories de


notre enseignement.


Par exemple sur les rôles du travail conscient et inconscient dans la recherche, mais


qui concernent aussi bien l'élève ou l'étudiant dans la mesure où nous essayons dans


les classes, de le mettre en situation de chercheur.


Il cite abondamment le texte, peu diffusé hélas, de Jacques Hadamard et Henri


Poincaré: "Psychologie de l'invention en mathématiques". (Ce dernier ouvrage devrait


être et aurait dû être fourni gratuitement à tout nouvel enseignant de


mathématique, et ceci depuis bien longtemps: il aurait permis aux enseignants de


toutes générations d'avoir une boussole critique dans les flots agités des programmes


successifs, leur évitant de réagir vague après vague et de culpabiliser souvent


inutilement.


Citons Ruelle:


" Hadamard distingue, à la suite de Poincaré, dans le travail mathématique, un stade


conscient de préparation, un stade inconscient d'élaboration ou incubation, une


illumination, qui ramène à la pensée consciente, et un stade conscient de


vérification ".


La simple réflexion sur cette phrase induit des pratiques différentes sur la


périodicité et le rôle et le contenu des devoirs à la maison, par exemple.


Ou sur le rôle capital des automatismes, qui fournissent le gros du travail


inconscient.


Sur la distance dans le temps, entre les activités et le "cours".



Sur l'importance des "problèmes" et des "exercices", sur le rôle pédagogique des


problèmes dits de "rallye".


Sur le rôle réel, souvent hypertrophié, et donc minimisé, de la "rédaction".


Continuons : "la phase d'incubation est décrite comme étant de nature combinatoire;


les idées sont assemblées de diverses manières, jusqu'à obtenir la bonne


combinaison. Hadamard estime que le choix est fait sur une base "esthétique".


J'ajoute qu'on voit ici le rôle que vont jouer les aspects affectifs : plaisir ou


répugnance, peur ou excitation, blocages ou jeu.


Evidemment cet enchaînement des 4 parties débouche sur des "résultats-relais" qui


servent de base pour la suite du raisonnement.


Enfin les concepts manipulés consciemment ou non peuvent être liés aux mots, mais


aussi non verbaux : dessins, schémas, formules, gestes, rythmes.


Je cite enfin une définition de ce livre magnifique de David Ruelle:


"Je pense que la beauté des mathématiques consiste dans la découverte de la


simplicité et de la complexité cachée qui coexistent dans le cadre logique rigide


imposé par le sujet"


NB : J'ai terminé aussi un ouvrage passionnant: le livre de Cedric Villani "Théorème


vivant".


Sous forme de roman grand public, l'auteur nous décrit magnifiquement la genèse d'un de ses théorèmes.


Evidemment, je n'ai pas compris grand chose dans les parties techniques, qui sont


séparées, quoique dans le corps du livre, mais cela n'est pas gênant, loin de là.


On reste fasciné par la recherche et ses péripéties humaines.


Cela m'a remis dans la situation de mon enfance où, à 11 ans, je lisais le roman de


jane austin (orgueil et préjugés) ou le "madame Bovary" de Flaubert, sans comprendre


la genèse ou le fonctionnement du désir ou des passions, mais où je restais fasciné


par leur mystère ( ça dure encore d'ailleurs !!!)


Encore un livre à mettre entre toutes les mains , matheuses ou non.










un peu de tératologie géométrique

Dans le billet précédent, à la fin, je disais que le passage d'un quadrilatère à un autre pouvait se faire avec une

translation, une rotation( ou une symétrie) , une homothétie, une affinité et deux homologies.

J'indiquais que l'on pouvait considérer que l'affinité et l'homothétie étaient des homologies "monstres" si on considère

les éléments à l'infini.

Mais on peut se demander si la translation ne peut pas être considérée de la même façon.

On peut tenter de le deviner avec la manipulation suivante ( il y a d'autres approches).

On travaille avec cabri par exemple.

Voici la BD:

1)

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merci, madame la géométrie

Encore un éloge lié de la géométrie.

Souvent, en montant une abaque, on est amené, avant de l’imprimer, à la modifier pour la rendre plus claire.

L’avantage des logiciels de géométrie dynamique est qu’on peut tirer sur un ou plusieurs points,

voire tirer sur les graduations des axes, ou modifier l’angle des axes.

Mais parfois, cela ne suffit pas et on est amené à se poser le problème suivant :

Mon abaque est limitée à un quadrilatère P ( une sorte de fermeture convexe) et je voudrais lui faire occuper

le rectangle de la feuille (ou un autre quadrilatère P’).

Nous allons résoudre ce problème avec quelques souvenirs de géométrie qu’il m’est arrivé d’enseigner

à des classes de 4ème ou de 3ème avant les ordinateurs et

ensuite, plus facilement, avec les logiciels de géométrie dynamique, surtout Cabri.

Soit donc deux quadrilatères abcd et a’b’c’d’. Le problème est d’envoyer le premier sur le second

par des transformations qui respectent l’alignement, c’est-à-dire qui transforment des droites en droites.

Je fais d’abord deux macros préalables.

La première me donnera l’angle saillant de deux vecteurs.

Soit deux vecteurs u et v représentés par OA et O’B. On mesure la longueur de u soit ||u||.

On va dans « calculatrice » et on divise, en le montrant, le nombre ||u|| par lui-même.

On obtient 1.000.Puis on multiplie ce nombre par 90.On obtient 90.000.

On fait subir à A la rotation de centre O et d’angle 90.000.On obtient

un point K. On va dans « nouveaux axes » et on trace le repère AOK.

On trace l’image de O par la translation de vecteur v. On obtient un point B’.

On demande les coordonnées de B’ dans le repère AOK, soit x et y.

On mesure l’angle géométrique AOB’, soit z.

On ouvre la calculatrice et on calcule le nombre z*y / |y| [c’est abs(y)].

On obtient le nombre cherché z’. C’est l’angle de la rotation qui envoie la demi -droite R+*u sur R+*v.

On fait la macro :

Initiaux : u et v

Finaux : z’

Validation : « angle saillant de deux vecteurs ».

 

 

 

La seconde macro sera celle qui donne le rapport de deux vecteurs parallèles.

Soit deux vecteurs parallèles u et v (utiliser des parallèles pour les construire)

représentés par OA et O’B .

. On mesure la longueur de u soit ||u||.On va dans « calculatrice » et on divise,

en le montrant, le nombre ||u|| par lui-même. On obtient 1.000.Puis on multiplie

ce nombre par 90.On obtient 90.000.

On fait subir à A la rotation de centre O et d’angle 90.000.On obtient

un point K. On va dans « nouveaux axes » et on trace le repère AOK.

On trace l’image de O par la translation de vecteur v. On obtient un point B’.

On demande les coordonnées de B’ dans le repère AOK, soit x et 0.

Le nombre x est le rapport de v à u. (celui qui multiplié par u donne v).

On fait la macro :

Initiaux : les deux vecteurs parallèles

Finaux : le nombre x

Validation : rapport de deux vecteurs parallèles (je déteste, dans ces contextes, le mot colinéaire)



 

Revenons à nos ovins quadrilatères.

transfo-mega-1.jpg

Je trace le vecteur aa’.

J’envoie d’abord a sur a’ par la translation T de vecteur aa’ et je transforme

le polygone P par cette translation : j’obtiens le polygone a’b1c1d1.

Ensuite, je vais envoyer b1 sur la droite (a’b’). Pour cela je mesure l’angle des vecteurs a’b1 et a’b’

avec la macro précédente : j’obtiens un nombre z.

Je fais subir au polygone a’b1c1d1 la rotation R de centre a’ et d’angle z.

J’obtiens un quadrilatère a’b2c2d2.

tranfo-mega-2.jpg

Je vais envoyer b2 sur b’ sans changer a’ par une homothétie de centre a’ donc et de rapport

(vecteur a’b’)/(vecteur a’b1). :je trace donc ces deux vecteurs, et , avec la macro précédente

je calcule leur rapport k.

Je fais alors subir au polygone a’b2c2d2 l’homothétie H de centre a’ et de rapport k.

J’obtiens le polygone a’b’c3d3.

tranfo-mega-3.jpg

Je vais maintenant envoyer c3 sur c’, mais en m’arrangeant pour que a’ et b’ ne changent pas.

Cela est possible si la droite (a’b’) reste invariante et si j’utilise par exemple l’affinité d’axe (a’b’)

et de direction c3c’. Il me faut donc faire une macro de l’affinité, la plus simple possible,

accessible à un élève de 5ème .

Affinité d’axe D envoyant un point a sur un  point a’.

Soit une droite D et deux points a et a’, image de a . La droite (aa’) est supposée non parallèle à D.

Soit m un point. Cherchons son image m’.

L’axe de l’affinité sera donc D. La direction de l’affinité sera la droite (aa’).

m sera sur la parallèle à (aa’) passant par m. Traçons-la.

La droite (am) coupe l’axe D en un point s qui est invariant.

La droite sam a donc pour image la droite sa’m’.

m’ se trouve donc à l’intersection de la parallèle précédente avec la droite (sa’).

On fait la macro :

Initiaux : D, a, a’ et m

Finaux : m’

Validation :affinité [D, a,a’]

 

Je fais donc maintenant subir au polygone a’b’c3d3 l’affinité A d’axe (a’b’) envoyant c3 sur c’.

.Il suffit de chercher l’image de d3 par l’affinité [(ab) ; c3 ;c’]. J’obtiens d4 et je trace

le polygone a’b’c’d4.

Il ne reste plus qu’à envoyer d4 sur d’. Mais comme il ne faut pas que a’, b’ et c’ bougent,

il me faut une transformation qui respecte bien sur l’alignement, et

qui laisse 3 points invariants non alignés.

Il y en a une qui est simple à étudier, c’est l’homologie. Un rappel :

Soit un point o appelé centre d’homologie (invariant) et une droite D dite axe d’homologie, ensemble de points invariants. On se donne un point a et son image a’. L’homologie est alors parfaitement définie si on sait qu’elle respecte l’alignement. Montrons-le en cherchant l’image d’un point quelconque m.

D’abord l’image m’ de m est quelque part sur la droite (om) puisque o est invariant et que l’homologie doit conserver l’alignement.

Ensuite, la droite (am) rencontre en général l’axe D en en un point s ( qui peut être dans les cas particuliers que nous n’étudierons pas ici, le point à l’infini).

Le point s est invariant. La droite (sam) a pour image la droite (sa’).

Donc m’ est à l’intersection de (sa’) et de (om).

On fait la macro :

Initiaux : D, o, a,a’

Finaux : m’

Validation : « homologie [o,D,a,a’]

 

 

Déshabillons un peu notre problème pour le réduire à l’essentiel maintenant.

Nous avons 3 points a’ ,b’, c’ qui doivent rester invariants et deux points d4 et d’

tels que l’un , d4 doit se tranformer en l’autre, d’.

On va le faire avec deux homologies successives, l’une d’axe (b’a’), l’autre d’axe (b’c’).

Les droites (d4b’) et (d’c’) se coupent en un point w.

L’homologie K1de centre c’, d’axe (b’a’) qui envoie d4 sur w, puis l’homologie K2 de centre a’,

d’axe (b’c’) qui envoie w sur d’ feront l’affaire car leur composée enverra d4 sur d’.

Pour avoir l’image d’un point m par la transformation qui envoie abcd sur a’b’c’d’,

il suffit de faire subir à m la composée

K2°K1°A°H°R°T.

En utilisant et les commandes translation, rotation, homothétie, et les macros précédentes

de A et K , on obtient rapidement à partir de m les points m1 m2 m3 m4 m5 m6 et surtout  m’

et on fait la macro globale G:

Initiaux : a,b,c,d ;a’,b’,c’,d’ et le point m  (attention à l’ordre)

Finaux :le point m’.

Validation :  « transfo quadri P ;quadri P’ »

 Aide : abcd ; a’b’c’d’ 

On est maintenant outillé pour transformer tout point remarquable m de l’abaque.

tranfo-mega-3-2.jpg

Le seul problème va être le cas des courbes.

Pour avoir le transformé d’une figure canonique F du logiciel ( polygone, cercle, conique)

il suffit de choisir un point mobile m sur la figure F, de le transformer par G, ce qui donne m’,

puis de demander le lieu de m’ quand le pilote m décrit la figure.

Par contre, il y a un souci quand la figure est déjà elle-même un lieu L,

car le logiciel grimace alors, parfois mortellement.

Il vaut mieux alors reprendre le point m générateur du lieu L

( donc apparaissant avant le tracé du lieu),

de transformer m par G pour avoir m’, puis de demander le lieu de m’

quand le pilote de m, par exemple p, varie.

C’est ce qui se passera pour les courbes des abaques à points alignés (aapa).

Un détour qui en valait la peine, non ?


amusons nous avec les transformations

DEMOCRATISER L UTILISATION DES MATHEMATIQUES

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the sound of silence

"si ce que tu vas dire n'est pas plus beau que le silence, tais-toi!!!"

(proverbe peul).

J'y souscris, excusez-moi.